Desafios da Trigonometria!

 A Trigonometria em si não é muito complicada, basta a gente prestar atenção em toda essa bagaça, mas é claro, assim como tudo na matemática tem que ter algo pra complicar (até em cálculos mais simples), na Trigonometria não é diferente.
Aqui vão dois desafios da Trigonometria que são considerados complicados e difíceis.

A) Dado um triangulo com ângulos internos de medidas A, B e C. Sabendo  -se que sen(4A) + sen (4B) + sen (4C) = 0, prove que esse triângulo é retângulo.Inicialmente, sen(4A) + sen (4B) + sen (4C) = 0
==>  sen(4A) + sen (4B) =  - sen (4C)
==>  2sen (2A+2B) cos(2A-2B) = - 2 sen 2C . cos 2c
como , A + B + C = 180°, então 2A + 2B + 2C = 360º


Assim, 2A + 2B = 360º - 2C,
logo,
        2sen (2A+2B) cos(2A-2B) = - 2 sen 2C . cos 2c  (dividindo os dois lados da igualdade por 2)
==> sen (2A+2B) cos(2A-2B) = - sen 2C . cos 2c
==> sen (360° - 2C) cos (2A - 2B) = - sen 2C cos 2C
temos ainda que sen (360º - 2C) = - sen 2C, logo a gente pode escrever a igualdade do seguinte modo
       sen (360° - 2C) cos (2A - 2B) = - sen 2C cos 2C

==> -sen 2C cos (2A - 2B) = - sen 2C cos 2C (dividimos os dois lados da igualdade por -sen 2c)
==> cos (2A - 2B) = cos 2C
assim conseguimos dois casos possíveis
  I- 2A - 2B = 2C  nesse caso
    2A = 2B + 2C
E a única solução possível é A = 90° (pois a soma dos angulos internos de um triangulo é 180°)
  II- 2A - 2B = -2C , nesse caso
     2B = 2A + 2C
     também a única solução possível é B = 90°

Portanto tá provado que nos dois casos a gente tem um angulo de 90°, assim o triangulo é retângulo.

B) Ache três ângulos,em graus,sabendo que a soma do primeiro com o segundo é 12º,a do segundo com o terceiro é 9º e a do primeiro com o terceiro é TT/36 rad.

 a1+a2=12
a2+a3=9
a1+a3=pi/36 rad

se pi rad=180, pi/36 rad=180/36=5², então

a1+a2=12
a2+a3=9
a1+a3=5

da primeira equação: a2=12-a1, aplicando a2 na segunda equação: (12-a1)+a3=9, 12-a1+a3=9, -a1+a3=-3, então a gente chega em:

a1+a3= 5
-a1+a3=-3

a3=5-a1
-a1+(5-a1)=-3
-a1+5-a1=-3
-2a1=-8
a1=4

aplicando a1 na primeira: a1+a2=12, 4+a2=12, a2=8
aplicando a2 na segunda: a2+a3=9, 8+a3=9, a3=1

a1=4º
a2=8º
a3=1º

provando:

a1+a2=12
a2+a3=9
a1+a3=5

4+8=12
8+1=9
4+1=5

Eu pesquisei pela internet e achei diversos desafios, mas esses foram os menos piores e os únicos que eu pude entender, entre tantos. Até mais \(^.^)/