Desafios da Trigonometria!

 A Trigonometria em si não é muito complicada, basta a gente prestar atenção em toda essa bagaça, mas é claro, assim como tudo na matemática tem que ter algo pra complicar (até em cálculos mais simples), na Trigonometria não é diferente.
Aqui vão dois desafios da Trigonometria que são considerados complicados e difíceis.

A) Dado um triangulo com ângulos internos de medidas A, B e C. Sabendo  -se que sen(4A) + sen (4B) + sen (4C) = 0, prove que esse triângulo é retângulo.Inicialmente, sen(4A) + sen (4B) + sen (4C) = 0
==>  sen(4A) + sen (4B) =  - sen (4C)
==>  2sen (2A+2B) cos(2A-2B) = - 2 sen 2C . cos 2c
como , A + B + C = 180°, então 2A + 2B + 2C = 360º


Assim, 2A + 2B = 360º - 2C,
logo,
        2sen (2A+2B) cos(2A-2B) = - 2 sen 2C . cos 2c  (dividindo os dois lados da igualdade por 2)
==> sen (2A+2B) cos(2A-2B) = - sen 2C . cos 2c
==> sen (360° - 2C) cos (2A - 2B) = - sen 2C cos 2C
temos ainda que sen (360º - 2C) = - sen 2C, logo a gente pode escrever a igualdade do seguinte modo
       sen (360° - 2C) cos (2A - 2B) = - sen 2C cos 2C

==> -sen 2C cos (2A - 2B) = - sen 2C cos 2C (dividimos os dois lados da igualdade por -sen 2c)
==> cos (2A - 2B) = cos 2C
assim conseguimos dois casos possíveis
  I- 2A - 2B = 2C  nesse caso
    2A = 2B + 2C
E a única solução possível é A = 90° (pois a soma dos angulos internos de um triangulo é 180°)
  II- 2A - 2B = -2C , nesse caso
     2B = 2A + 2C
     também a única solução possível é B = 90°

Portanto tá provado que nos dois casos a gente tem um angulo de 90°, assim o triangulo é retângulo.

B) Ache três ângulos,em graus,sabendo que a soma do primeiro com o segundo é 12º,a do segundo com o terceiro é 9º e a do primeiro com o terceiro é TT/36 rad.

 a1+a2=12
a2+a3=9
a1+a3=pi/36 rad

se pi rad=180, pi/36 rad=180/36=5², então

a1+a2=12
a2+a3=9
a1+a3=5

da primeira equação: a2=12-a1, aplicando a2 na segunda equação: (12-a1)+a3=9, 12-a1+a3=9, -a1+a3=-3, então a gente chega em:

a1+a3= 5
-a1+a3=-3

a3=5-a1
-a1+(5-a1)=-3
-a1+5-a1=-3
-2a1=-8
a1=4

aplicando a1 na primeira: a1+a2=12, 4+a2=12, a2=8
aplicando a2 na segunda: a2+a3=9, 8+a3=9, a3=1

a1=4º
a2=8º
a3=1º

provando:

a1+a2=12
a2+a3=9
a1+a3=5

4+8=12
8+1=9
4+1=5

Eu pesquisei pela internet e achei diversos desafios, mas esses foram os menos piores e os únicos que eu pude entender, entre tantos. Até mais \(^.^)/

Curiosidades da Trigonometria

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados.

Curiosidades:

• Tentando resolver o problema de navegação, os gregos se interessaram também em determinar o raio da Terra e a distância da Terra à Lua. Este último problema implicou no surgimento das primeiras noções de Trigonometria.

 

• Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, porém com a Trigonometria se torna simples
• Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos
• Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa

Leonhard Euler (1707-1783)

Segundo pesquisas, Leonhard Euler foi o mais famoso matemático da história por revolucionar quase toda a matemática no século XVIII.
Seus quase 800 livros fundamentaram campos que seriam estudados futuramente, como topologia, e revolucionou quase todos os que já estavam em vigor, como cálculo e funções. Ao solucionar um problema que envolvia sete pontes que ligavam duas ilhas na cidade de Königsberg, antiga Prússia, fundou a teoria dos grafos, que possibilitou o surgimento da topologia e é usada hoje, por exemplo, para
montar as tabelas do Campeonato Brasileiro! Euler ficou cego aos 50 anos e passou a ditar seus textos ao filho. Muitos matemáticos avaliam que seu trabalho ficou mais rico após perder a visão.
- O matemático francês François Arago declarou que Euler calculava sem esforço, "como os homens respiram e as águias mantêm-se no ar".
Resumindo, o cara era simplesmente o mais da hora da época, e até hoje ainda é lembrado pelos fanáticos por matemática (ou não). Bom, Leonhard (vou chamar pelo primeiro nome porque sim) trabalhou em diversas áreas dessa matéria tão querida e que eu amo tanto (mentira, eu não gosto). Leonhard era tão fanático pela Matemática, que não se importava se ela era pura ou aplicada, ou seja, ele gostava afú mesmo.
Leonhard foi o primeiro a tratar seno e cosseno como funções, inventou o ciclo trigométrico. Devemos a ele (vivaaa), a invenção do símbolo para função de X, os símbolos para representar a base dos logaritmos neperianos, para a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência, para representar a raiz quadrada de menos , a letra grega para representar o somatório, , para representar a derivada de ordens superiores, além de designar os vértices de um triângulo por letras latinas maiúsculas () e os lados por letras latinas minúsculas ().

Aí vai alguns problemas famosos que ele estudou: 

• Mostrou que o problema das Pontes de Konisberg não tinha solução;
• A relação de Euler-Descartes referente aos poliedros;
• As fórmulas e ;
• Estudou as EDO lineares;
• Descobriu o operador laplaciano antes mesmo de Laplace, quando estudava as propriedades dos fluidos;
• Desenvolveu o Cálculo das Variações, mas deu todos o créditos para Lagrange que tinha idéias semelhantes.
• Descobriu um método para achar as somas dos recíprocos dos inteiros de expoente par e como caso particular concluiu que ;
• As funções gama e beta são devido a Euler;
• Desenvolveu as equações para a dinâmica dos corpos rígidos.

• A função apresentada por ele tem destaque na Teoria dos Números. 

 Grande parte de sua obra, trouxe grandes avanços para a Matemática, mas ele em alguns explorava alguns assuntos sem muito formalismo, mas esse pensamento é alterado radicalmente pelos matemáticos do século XIX e irá dominar toda a Matemática até a nossa atualidade.